El PLANO INCLINADO

En esta página analizamos detalladamente un problema muy común en un curso de Física cuya solución no se suele presentar de forma completa.

Un bloque de masa m₁ se sitúa sobre un plano inclinado de ángulo θ. El bloque está conectado a otro bloque de masa m₂ que cuelga de su otro extremo mediante una cuerda inextensible que pasa por una polea ideal (de rozamiento y momento de inercia despreciables). Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque de masa m₁ y el plano inclinado es μ, estudiar el movimiento del sistema.

 

Por razón de simplicidad, supondremos que los coeficientes de rozamiento estático y cinético tienen el mismo valor μ.

Descripción

Tenemos analizar dos posibles situaciones

1. Cuando el bloque de masa m₁ está en movimiento
2. Cuando el bloque de masa m₁ está en reposo sobre el plano inclinado

Para dibujar de forma correcta el sentido de la fuerza de rozamiento, se ha de tener en cuenta que:

• Cuando el bloque desliza, la fuerza de rozamiento es siempre de sentido contrario al vector velocidad.
• Si el bloque de masa m₁ está en reposo, la fuerza de rozamiento es de sentido contrario a la resultante de las otras fuerzas que actúan sobre el bloque.

1.      El bloque de masa m₁ desliza sobre el plano inclinado

• Movimiento del bloque a lo largo del plano, hacia arriba

La ecuación del movimiento del bloque que cuelga de masa m₂ es 
m₂g-T=m₂a

La ecuación del movimiento del bloque de masa m₁ que desliza hacia arriba es
T-m₁g·senθ-Fr=m₁a

La reacción del plano vale N-m₁g·cosθ=0
y la fuerza de rozamiento F_r=μ·N

 Despejamos la aceleración a

 

• Movimiento del bloque a lo largo del plano, hacia abajo

La fuerza de rozamiento cambia de sentido. Cambiamos el signo la fuerza de rozamiento en la fórmula de la aceleración

Alternativamente, podemos volver a plantear las ecuaciones del movimiento a partir del esquema de la figura.

2. El bloque de masa m₁ está en reposo sobre el plano inclinado

En este caso la tensión de la cuerda es igual al peso T=m₂g

La fuerza de rozamiento se opone a la resultante de las otras dos fuerzas opuestas:

• la tensión de la cuerda m₂g
• la componente del peso m₁gsenθ
   

La componente del peso es menor que la tensión de la cuerda, la fuerza de rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva a lo largo del plano inclinado hacia arriba.

Si m₂g> m₁gsenθ    entonces  m₂g- m₁gsenθ-F_r=0    (1)

La componente del peso es mayor que la tensión de la cuerda, la fuerza de rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva hacia abajo.

Si m₂g< m₁gsenθ    entonces  m₂g-m₁gsenθ+F_r=0    (2)

La fuerza de rozamiento es nula para el ángulo θ que cumple que m₂g=m₁gsenθ. 

3. Cuando el bloque de masa m₁ empieza a deslizar a lo largo del plano

Variando el ángulo de inclinación θ del plano inclinado llega un momento en el que el bloque empieza a deslizar, en ese momento la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo
F_r=μN= μm₁gcosθ

Vamos  a determinar el o los ángulos de plano inclinado para los cuales el bloque de masa m₁ va a empezar a deslizar a lo largo de dicho plano 

Llamando m=m₂/m₁, la ecuación de equilibrio de fuerzas (1) se escribe 

m-senθ- μcosθ=0

Teniendo en cuenta que cos²θ=1-sen²θ. Despejando cosθ y elevando al cuadrado, nos queda la ecuación de segundo grado en senθ.

(1+μ²)sen²θ-2msenθ+(m²-μ²)=0

La misma ecuación de segundo grado se obtiene a partir de la ecuación de equilibrio de fuerzas (2)

La ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales siempre que el discriminante sea positivo
1-m²+μ²≥0.

Para que las dos raíces reales sean positivas se tiene que cumplir que la raíz más pequeña sea positiva, esto es

Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos la desigualdad equivalente 
m≥ μ

• El discriminante es siempre positivo para m<1 es decir, para m₂<m₁
• En cambio, si m>1, es decir, si m₂>m₁ las raíces reales existen si μ²≥m²-1

Observa el siguiente video y resuelve la actividad que se te pide en ACTIVIDADES GENERALES.